Apresentação

As funções trigonométricas circulares e hiperbólicas fazem parte de qualquer curso de Cálculo Diferencial e Integral. A trigonometria circular, conhecida dos alunos desde o ensino fundamental e médio, é em geral bem fundamentada e organizada. São relações definidas e obtidas no triângulo retângulo ou na circunferência trigonométrica e todas as propriedades e identidades, envolvendo essas funções, são provadas a partir das propriedades da circunferência e dos triângulos.

Esse fato já não ocorre com as funções trigonométricas hiperbólicas. Em geral, os livros de Cálculo Diferencial e Integral definem as funções trigonométricas hiperbólicas como soma de funções exponenciais. Para ser mais preciso,

Todas as propriedades envolvendo as funções trigonométricas hiperbólicas são então deduzidas a partir dessas igualdades e de propriedades das funções exponenciais e logarítmicas. Também, as fórmulas de derivação são obtidas usando as fórmulas de derivação para a função exponencial.

Assim como a trigonometria circular, a trigonometria hiperbólica é também construída e fundamentada. Não sobre a circunferência, mas sobre a hipérbole trigonométrica. As propriedades dessas funções são então consequências de propriedades algébricas e geométricas dessa hipérbole.

Este assunto me deixou curioso por muito tempo até que resolvi procurar mais informações a esse respeito. Hoje, com essas informações localizadas e reunidas, faço este texto com o objetivo de compartilhar os conhecimentos adquiridos nesse assunto. Para tornar o estudo completo, neste texto é abordada também a trigonometria circular, que na maioria dos livros já está bem detalhada.

A proposta deste texto é complementar um curso de Cálculo Diferencial e Integral com detalhamento no trato das funções trigonométricas. Do modo que este texto está preparado, esperamos que o leitor, em cada etapa, esteja familiarizado com os conceitos abordados, como por exemplo os conceitos de continuidade, derivação e função inversa.

O primeiro capítulo tratará das funções trigonométricas circulares. Construiremos primeiramente a trigonometria circular sobre o círculo trigonométrico com a dedução das principais identidades trigonométricas. Feito isto, definiremos as funções trigonométricas circulares e estudaremos alguns de seus principais aspectos, como domínio, imagem, gráficos, continuidade e derivadas dessas funções. Para finalizar o primeiro capítulo, estudaremos as funções trigonométricas inversas e suas derivadas.

No segundo capítulo, trataremos da trigonometria hiperbólica. Estudaremos a definição das funções trigonométricas hiperbólicas na hipérbole trigonométrica e as principais identidades trigonométricas hiperbólicas. Analisaremos as funções trigonométricas hiperbólicas, seus gráficos, continuidade e a derivada dessas funções. E por fim, estudaremos as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e suas derivadas.

O capítulo 3 é dedicado a mostrar que as identidades trigonométricas hiperbólicas envolvendo as funções exponenciais são verdadeiras. Obteremos, ainda, identidades logarítmicas para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e com o auxílio da álgebra de números complexos, obteremos identidades similares para as funções trigonométricas circulares.

No capítulo 4, são apresentadas algumas aplicações das funções trigonométricas, tanto as circulares quanto as hiperbólicas. Para melhor compreensão deste capítulo, recomendamos ao leitor o conhecimento de alguns conceitos físicos.

Ao final de cada seção, apresentaremos uma tabela resumida com os principais resultados obtidos naquela seção. Essas tabelas tem o objetivo de facilitar a busca de informações desejadas por parte do leitor.

27. Abril 2021 Sandro Marcos Guzzo