[Capítulo 2: Funções trigonométricas hiperbólicas]{#SECTION00600000000000000000 .quarto-section-identifier}

Capítulo 2: Funções trigonométricas hiperbólicas

Este capítulo é dedicado ao estudo das funções trigonométricas hiperbólicas. Iremos primeiramente estudar algumas propriedades importantes das hipérboles, para que possamos deduzir algumas relações envolvendo esta trigonometria. Vamos, depois, definir as seis funções trigonométricas hiperbólicas e um pequeno estudo sobre cada uma delas, principalmente no que diz respeito a derivada de tais funções. Feito isto, vamos estabelecer as funções trigonométricas hiperbólicas inversas e concluímos o capítulo com o estudo das derivadas das funções inversas.

2.1 Propriedades da hipérbole

Consideremos uma hipérbole de equação $xy = k$ , para $k>0$ . Para simplificar, vamos considerar que $x$ e $y$ são ambos positivos, isto é, estamos tomando apenas um ramo da hipérbole. Os pontos desta curva são da forma $(x, \frac{k}{x})$ para $x>0$ e o gráfico é a curva da figura 2.1.

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Dado um número real $\alpha > 0$ , vamos considerar a transformação

$\displaystyle T : \mathbb{R}^{2}$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}^{2}$
$\displaystyle (x,y)$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle T(x,y) = (\alpha x, \tfrac{1}{\alpha} y).$	(2.1)

Esta transformação é conhecida como deslocamento ou deslizamento sobre a hipérbole. Isto se deve ao fato de que $T$ leva pontos da hipérbole na hipérbole (ver proposição 2.1). Esta transformação é bastante importante no nosso estudo e possui propriedades interessantes. As próximas proposições evidenciam algumas destas propriedades. Outras propriedades podem ser encontradas em [7, Shervatov].

Proposição 2.1 A transformação $T: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ , definida por (2.1), possui as seguintes propriedades:
$\mathbf{(a)}$ leva pontos da hipérbole em pontos da hipérbole.
$\mathbf{(b)}$ leva retas do plano em retas.
$\mathbf{(c)}$ preserva a razão entre os comprimentos de segmentos de uma mesma reta.
$\mathbf{(d)}$ leva retas paralelas em retas paralelas.
$\mathbf{(e)}$ preserva as assíntotas da hipérbole.

Prova. Dado $a > 0$

, o ponto $A = (a,\frac{k}{a})$ pertencente à hipérbole e temos

$\displaystyle T(A) = T(a, \tfrac{k}{a}) = (\alpha a, \tfrac{1}{\alpha} \tfrac{k}{a}) = (\alpha a, \tfrac{k}{\alpha a}),$

sendo que claramente o membro da direita é um ponto que ainda está sobre a hipérbole, uma vez que satisfaz a equação $xy = k$

. Isto prova $\mathbf{(a)}$ . Para provar $\mathbf{(b)}$ consideremos a parametrização $(x,y) = (c,d) +
t(a,b) = (at+c,bt+d)$

que descreve os pontos de uma reta, fazendo $t$

variar em $\mathbb{R}$ , para quaisquer $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ , desde que $(a,b) \neq (0,0)$ pois é o vetor diretor da reta. Então aplicando $T$

,

$\displaystyle T(at+c,bt+d) = (\alpha at + \alpha c, \tfrac{bt+d}{\alpha}) = ( \alpha at + \alpha c, \tfrac{b}{\alpha} t + \tfrac{d}{\alpha}),$

e obviamente os pontos do membro da direita descrevem uma reta fazendo $t$

variar em $\mathbb{R}$ . Para o item $\mathbf{(c)}$ , consideremos novamente a parametrização $(at+c,bt+d)$

de uma reta qualquer. O comprimento de um segmento $\overline{AB}$ é a distância entre $A$

e

. Se $A = (at_{1}+c, bt_{1}+d)$ e $B = (at_{2}+c, bt_{2}+d)$ , então

$\displaystyle \overline{AB}$	$\displaystyle = \vert B-A\vert = \vert(a(t_{2}-t_{1}), b(t_{2}-t_{1}))\vert$
	$\displaystyle = \sqrt{a^{2}(t_{2}-t_{1})^{2} + b^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}}$
	$\displaystyle = \vert t_{2}-t_{1}\vert\sqrt{a^{2} + b^{2}}.$

Se $\overline{CD}$ é outro segmento desta reta com $C = (at_{3}+c, bt_{3}+d)$ e $D = (at_{4}+c, bt_{4}+d)$ , então da mesma forma, o comprimento do segmento $\overline{CD}$ é igual a $\vert t_{4}-t_{3}\vert\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e a razão entre os segmentos é

$\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{AB}} = \frac{\vert t_{4}-t_{3}\v... ...\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{\vert t_{4}-t_{3}\vert}{\vert t_{2}-t_{1}\vert},$

pois $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = 0$ .

Vamos então provar que se $A' = T(A)$ , $B' = T(B)$ , $C' = T(C)$ e $D' = T(D)$ , então $\frac{\overline{C'D'}}{\overline{A'B'}} = \frac{\vert t_{4}-t_{3}\vert}{\vert t_{2}-t_{1}\vert}$ . De fato, $A' = (\alpha at_{1} + \alpha c, \frac{b}{\alpha}t_{1} + \frac{d}{\alpha})$ , $B' = (\alpha at_{2} + \alpha c, \frac{b}{\alpha}t_{2} + \frac{d}{\alpha})$ , $C' = (\alpha at_{3} + \alpha c, \frac{b}{\alpha}t_{3} + \frac{d}{\alpha})$ e $D' = (\alpha at_{4} + \alpha c, \frac{b}{\alpha}t_{4} + \frac{d}{\alpha})$ . Então

$\displaystyle \overline{A'B'}$	$\displaystyle = \vert B' - A'\vert = \vert(\alpha a(t_{2}-t_{1}), \frac{b}{\alpha}(t_{2}-t_{1}))\vert$
	$\displaystyle = \sqrt{\alpha^{2}a^{2}(t_{2}-t_{1})^{2} + \frac{b^{2}}{\alpha^{2}}(t_{2}-t_{1})^{2}}$
	$\displaystyle = \vert t_{2}-t_{1}\vert\sqrt{\alpha^{2}a^{2} + \frac{b^{2}}{\alpha^{2}}}.$

e da mesma forma

$\displaystyle \overline{C'D'} = \vert t_{4}-t_{3}\vert\sqrt{\alpha^{2}a^{2} + \frac{b^{2}}{\alpha^{2}}},$

e, portanto,

$\displaystyle \frac{\overline{C'D'}}{\overline{A'B'}} = \frac{\vert t_{4}-t_{... ...}-t_{3}\vert}{\vert t_{2}-t_{1}\vert} = \frac{\overline{CD}}{\overline{AB}},$

e isso prova o item $\mathbf{(c)}$ .

Para provar $\mathbf{(d)}$ , tomemos duas retas paralelas $r$ e $s$ , isto é, os coeficientes são proporcionais. Tomemos as parametrizações $r:(at+c,bt+d)$ e $s:( (ma)t + e, (mb)t + f)$ , para $t \in \mathbb{R}$ . Então, $T(r) = ( (\alpha a) t + \alpha c, \frac{b}{\alpha}t + \frac{d}{\alpha})$ e $T(s) = ( (\alpha ma) t + \alpha e, \frac{mb}{\alpha}t + \frac{f}{\alpha})$ e, claramente, $T(r)$ e $T(s)$ são paralelas, já que os seus coeficientes são proporcionais.

Finalmente vamos a $\mathbf{(e)}$ . As assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados. As suas parametrizações são $(t,0)$ e $(0,t)$ . Obviamente $T(t,0) = (\alpha t,0)$ , que continua sendo o eixo $x$ e $T(0,t) = (0, \frac{1}{\alpha} t)$ , que continua sendo o eixo $y$ . $\qedsymbol$

Nota: Observe que, na transformação dada em (2.1), para $\alpha = 1$ temos a aplicação identidade. Para $\alpha > 1$ , um dado ponto $A$ será deslocado por $T$ no sentido do crescimento do eixo $x$ . E se $0 < \alpha < 1$ , então o deslocamento de um determinado ponto $A$ da hipérbole, se dará no sentido contrário ao do crescimento do eixo $x$ . $\blacksquare$

Proposição 2.2 A transformação não altera a área de figuras do plano.

Prova. De fato, $T$

pode ser escrita como composição das transformações

$\displaystyle \begin{array}{rcl} T_{1} : \mathbb{R}^{2} & \to & \mathbb{R}^{2} \\ (x,y) & \mapsto & (\alpha x, y) \end{array}$ e $\begin{displaymath}\qquad \qquad \begin{array}{rcl} T_{2} : \mathbb{R}^{2} & \... ...2} \\ (x,y) & \mapsto & (x, \tfrac{1}{\alpha}y). \end{array}\end{displaymath}$

Sabemos da geometria plana que a transformação $T_{1}$ altera a área de uma figura plana multiplicando esta área por $\alpha$ e a segunda transformação multiplica a área de uma figura por $\frac{1}{\alpha}$ . A composta das duas aplicações então multiplica a área de figuras primeiro por $\alpha$ e depois por $\frac{1}{\alpha}$ e, portanto, não altera a área de figuras planas. $\qedsymbol$

A figura 2.2 representa um braço da hipérbole de equação cartesiana $x^{2} - y^{2} = 1$ . Esta “metade” de hipérbole é conhecida como hipérbole trigonométrica.

Note que, se rotacionarmos o gráfico da figura 2.2, $45^{\circ}$ no sentido anti-horário com relação a origem, este braço de hipérbole se torna o braço de hipérbole da figura 2.1, bastando apenas ajustar o valor de $k$ . Também as assíntotas $y = \pm x$ , após esta rotação, se tornam os eixos coordenados da figura 2.1. Isso significa que, por uma rotação, as propriedades listadas nas Proposições 2.1 e 2.2 são válidas também na hipérbole trigonométrica e suas assíntotas $y = \pm x$ . Isto porque a rotação (de $45^{\circ}$ ), é um movimento rígido e preserva comprimento de segmentos, relação de paralelismo e medidas de áreas.

**Figura 2.2:** Hipérbole trigonométrica.

Chamemos $V=(1,0)$ o vértice da hipérbole da figura 2.2. Consideremos um ponto $A$ sobre a hipérbole situado no primeiro quadrante (fig. 2.3). Pelo ponto $A$ traçamos a perpendicular $AP$ ao eixo $x$ . Marcamos o ponto $B$ simétrico de $A$ com relação ao eixo $x$ . O segmento $AB$ é dito segmento conjugado do segmento $OV$ , pois o prolongamento de $OV$ encontra $AB$ no ponto médio $P$ de $AB$ . O ponto $B$ está então sobre a hipérbole no quarto quadrante e o segmento $AB$ é também perpendicular ao eixo $x$ . Traçamos pelo ponto $A$ a reta $r$ paralela a assíntota $y=x$ e pelo ponto $B$ a reta $s$ paralela a assíntota $y=-x$ . As retas $r$ e $s$ se encontram no ponto $M$ , sobre o eixo $x$ , formando o triângulo $AMB$ retângulo em $M$ .

**Figura 2.3:** Construindo propriedades adicionais na hipérbole.

Aplicamos agora um deslizamento sobre a hipérbole, isto é, aplicamos a transformação $T$ dada em (2.1). Obtemos assim os pontos $A'$ , $B'$ , $P'$ , $V'$ e $M'$ imagem pela $T$ dos pontos $A$ , $B$ , $P$ , $V$ e $M$ respectivamente; e as retas $r'$ e $s'$ imagem pela $T$ das retas $r$ e $s$ respectivamente, conforme figura 2.4.

**Figura 2.4:** Propriedades adicionais na hipérbole.

Nestes termos, como os pontos $A$ , $B$ e $P$ estão sobre uma mesma reta, pela propriedade $\mathbf{(b)}$ da Proposição 2.1 os pontos $A'$ , $B'$ e $P'$ estão também sobre uma mesma reta. Pela mesma razão, os pontos $O$ , $M'$ , $V'$ e $P'$ também estão alinhados, isto é, sobre uma reta. Os pontos $A'$ , $V'$ e $B'$ ainda estão sobre a hipérbole. A razão entre as medidas dos segmentos $AP$ e $PB$ é igual 1 e, portanto, pelo item $\mathbf{(c)}$ da Proposição 2.1, a razão entre as medidas dos segmentos $A'P'$ e $P'B'$ é também 1, isto é, o ponto $P'$ é ainda o ponto médio do segmento $A'B'$ . Pelas propriedades $\mathbf{(d)}$ e $\mathbf{(e)}$ da mesma Proposição, as retas $r'$ e $s'$ são paralelas as retas imagens das assíntotas $y = \pm x$ por $T$ . Como as assíntotas não são alteradas, $r'$ e $s'$ ainda são paralelas as assíntotas. Isto significa que o triângulo $A'B'M'$ é ainda um triângulo retângulo em $M'$ .

2.2 A trigonometria hiperbólica

A trigonometria hiperbólica é construída sobre a hipérbole trigonométrica, isto é, o braço da hipérbole de equação $x^{2} - y^{2} = 1$ , representado na figura 2.2. Dado um número real $u \geq 0$ , entenderemos por ângulo hiperbólico $u$ , ou ângulo hiperbólico $VOA$ , o arco $VA$ da hipérbole no primeiro quadrante, de forma que a área do setor $OVA$ seja igual a $\frac{u}{2}$ (Ver figura 2.5). No caso em que $u < 0$ o ângulo hiperbólico $u$ é o arco $VA$ da hipérbole, no quarto quadrante, de forma que a área do setor $OVA$ seja igual a $\frac{-u}{2}$ .

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Note que esta definição, em termos de área, é escolhida pois o deslizamento hiperbólico não altera área de figuras no plano (Proposição 2.2) e desta forma um ângulo hiperbólico $u$ não será alterado quando aplicarmos o deslizamento hiperbólico. Na figura 2.6, o ângulo hiperbólico $OAV$ é igual ao ângulo hiperbólico $OA'V'$ se $A'$ e $V'$ são imagens respectivas dos pontos $A$ e $V$ por deslizamento hiperbólico.

**Figura 2.6:** Ângulo hiperbólico deslizado.

Note ainda que podemos considerar ângulos hiperbólicos de qualquer magnitude, já que a área do setor entre as assíntotas $y = \pm x$ e a hipérbole, é infinita. Vamos agora definir seno e cosseno hiperbólico de um ângulo (hiperbólico) $u \in \mathbb{R}$ .

Nesses termos, dado um ângulo hiperbólico $u$ , determinado pelo arco de hipérbole $VA$ , consideramos o ponto $P$ , projeção do ponto $A$ sobre o eixo $x$ e o ponto $Q$ projeção do ponto $A$ sobre o eixo $y$ . O cosseno hiperbólico de $u$ é definido como sendo a abscissa do ponto $A$ , isto é, o comprimento do segmento orientado $OP$ (ou $QA$ ), com relação ao eixo $x$ . Note que este segmento orientado nunca terá sentido contrário ao eixo $x$ e, portanto, a medida de cosseno hiperbólico de $u$ será sempre positiva (maior ou igual a 1 para ser mais preciso). O seno hiperbólico de $u$ é definido como sendo a ordenada do ponto $A$ , isto é, o comprimento do segmento orientado $PA$ (ou $OQ$ ), com relação ao eixo $y$ , isto é, se o segmento orientado $PA$ tem sentido contrário ao eixo $y$ , então entendemos que a medida do segmento é negativa. Isto ocorrerá apenas para valores negativos de $u$ .

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Representamos isto escrevendo

$\displaystyle {\mathrm{senh}}u = PA$ e $\displaystyle \qquad \cosh u = OP.$

As demais funções trigonométricas hiperbólicas, tangente, cotangente, secante e cossecante, são definidas como na trigonometria circular, isto é, respectivamente

$\displaystyle {\mathrm {tgh}}u = \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u}, \qquad$	$\displaystyle \qquad {\mathrm{ctgh}}u = \frac{\cosh u}{{\mathrm{senh}}u},$
$\displaystyle {\mathrm{sech}}u = \frac{1}{\cosh u} \qquad$	e $\displaystyle \qquad {\mathrm{csch}}u = \frac{1}{{\mathrm{senh}}u}.$

Se considerarmos dois ângulos hiperbólicos de medidas $u$ e $-u$ , representados respectivamente pelos arcos $VA$ e $VC$ , vemos (na figura 2.8) que os valores de seno hiperbólico são diferentes apenas por um sinal, pois os segmentos orientados $OQ$ e $OQ'$ tem sentidos opostos e que os valores de cosseno hiperbólico são ambos iguais ao segmento orientado $OP$ .

**Figura 2.8:** Ângulos hiperbólicos de sinais contrários.

Isto significa que,

$\displaystyle {\mathrm{senh}}u = -{\mathrm{senh}}(-u),$ e $\displaystyle \qquad \cosh u = \cosh(-u).$

(2.2)

Em outras palavras, o seno hiperbólico é uma função ímpar e o cosseno hiperbólico é uma função par.

Nosso próximo passo é deduzir as principais fórmulas da trigonometria hiperbólica. Serão cinco fórmulas, contando com as duas identidades em (2.2). Faltam a relação fundamental e as fórmulas de soma de arcos para o seno e o cosseno hiperbólicos. Demais fórmulas trigonométricas que se deseje podem ser deduzidas a partir destas cinco.

Da figura 2.7, podemos ver claramente que as coordenadas cartesianas do ponto $A$ são $A = (\cosh u, {\mathrm{senh}}u)$ . Também o ponto $A$ está sobre a hipérbole, e então suas coordenadas devem obrigatoriamente satisfazer a equação da hipérbole $x^{2} - y^{2} = 1$ e, assim,

$\displaystyle \cosh^{2} u - {\mathrm{senh}}^{2} u = (\cosh u)^{2} - ({\mathrm{senh}}u)^{2} = 1,$

(2.3)

que é a relação fundamental da trigonometria hiperbólica.

Vamos agora mostrar a validade das fórmulas trigonométricas da soma de arcos do cosseno hiperbólico e do seno hiperbólico. Consideremos dois ângulos hiperbólicos $u$ e $v$ determinados pelos arcos hiperbólicos $VZ$ e $VB$ respectivamente, conforme a figura abaixo.

**Figura 2.9:** Ângulos hiperbólicos e .

Tomando o ponto $A$ , sobre a hipérbole, simétrico do ponto $Z$ pelo eixo $x$ , temos o segmento $AZ$ conjugado ao segmento $OV$ , isto é, o prolongamento do segmento $OV$ corta o segmento $AZ$ em seu ponto médio. Chamemos $W$ , este ponto médio. $W$ também é a projeção de $Z$ sobre o eixo $x$ . Considerando as retas $r$ e $s$ paralelas as assíntotas $y = \pm x$ , que passam pelos pontos $A$ e $Z$ respectivamente, temos que $r$ e $s$ se encontram sobre o eixo $x$ no ponto que denotaremos por $M$ .

**Figura 2.10:** Segmento conjugado ao ângulo hiperbólico .

Decorre disto que

$\displaystyle \cosh u = OW$ e $\displaystyle \qquad {\mathrm{senh}}u = WZ.$

Vamos agora aplicar um deslizamento hiperbólico que desliza o arco $VZ$ de forma que a imagem $V'$ de $V$ coincide com o ponto $B$ . A imagem de $Z$ então será denotada por $C$ , isto é, $Z' = C$ . Lembrando ainda que o ângulo hiperbólico $BOC$ continua sendo o ângulo hiperbólico $u$ , em virtude da invariância de áreas por deslizamento hiperbólico. O ponto $C$ por sua vez determina o arco de hipérbole $VC$ associado ao ângulo hiperbólico $(u+v)$ . Também, sejam $A'$ , $W'$ e $M'$ as respectivas imagens dos pontos $A$ , $W$ e $M$ e $r'$ e $s'$ as respectivas imagens das retas $r$ e $s$ .

**Figura 2.11:** Ângulo hiperbólico .

Pelos pontos $B$ e $C$ traçamos, as perpendiculares ao eixo $x$ , $BP$ e $CR$ . Lembremos que a corda $CA'$ , é ainda conjugada a $OB$ , ou seja, o prolongamento de $OB$ encontra o ponto médio do segmento $CA'$ e com $W'$ sendo este ponto médio.

**Figura 2.12:** Projeções e .

Nestes termos temos as relações,

$\displaystyle {\mathrm{senh}}v = PB$ e $\displaystyle \qquad \cosh v = OP,$

e

$\displaystyle {\mathrm{senh}}(u+v) = RC$ e $\displaystyle \qquad \cosh(u+v) = OR.$

Vamos agora mostrar que também valem,

$\displaystyle {\mathrm{senh}}u = \frac{W'C}{OB}$ e $\displaystyle \qquad \cosh u = \frac{OW'}{OB}.$

(2.4)

Os segmentos $OW$ e $OV$ estão sobre a mesma reta e então do item $\mathbf{(c)}$ da proposição 2.1 temos que a razão $\frac{OW}{OV}$ é preservada pelo deslizamento hiperbólico, ou seja, $\frac{OW}{OV} = \frac{OW'}{OB}$ . Levando em conta que $OV = 1$ , temos imediatamente que

$\displaystyle \cosh u = OW = \frac{OW}{OV} = \frac{OW'}{OB}.$

Agora, os triângulos $AMZ$ e $A'M'C$ são triângulos retângulos e $W$ e $W'$ são pontos médios das respectivas hipotenusas. O ponto médio da hipotenusa é equidistante aos vértices de um triângulo retângulo, isto é, $WA = WM = WZ$ e $W'A' = W'M' = W'C$ . Também, como os segmentos $MW$ e $OV$ estão sobre uma mesma reta, a razão $\frac{MW}{OV}$ é preservada pelo deslizamento hiperbólico, isto é, $\frac{MW}{OV} = \frac{M'W'}{OV'}$ . Segue que

$\displaystyle {\mathrm{senh}}u = WZ = \frac{WZ}{OV} = \frac{MW}{OV} = \frac{M'W'}{OB} = \frac{W'C}{OB},$

e isto garante as igualdades (2.4).

Seja $Q$ a projeção de $W'$ sobre o eixo $x$ e $S$ a projeção de $W'$ sobre o segmento $RC$ , conforme a figura 2.13.

**Figura 2.13:** Projeções e .

Notemos que os triângulos $OPB$ e $OQW'$ são semelhantes. Vamos verificar que também são semelhantes os triângulos $OPB$ e $CSW'$ . Para isto mostraremos que o ângulo $B\hat{O}P$ é igual ao ângulo $S\hat{C}W'$ . A reta $s'$ , paralela a bissetriz $y=x$ , passa por $C$ , intercepta $OB$ em $M'$ e intercepta $OV$ em um ponto que chamaremos de $N$ (Figura 2.14).

**Figura 2.14:** Projeção .

Assim, $R\hat{C}N = R\hat{N}C = 45^{\circ}$ . Mais ainda, como o triângulo $CM'A'$ é retângulo em $M'$ e $W'$ é o ponto médio da hipotenusa $CA'$ , segue que o triângulo $M'W'C$ é isósceles e pontanto os ângulos $W'\hat{M'}C$ e $W'\hat{C}M'$ possuem a mesma medida, isto é, $W'\hat{M'}C = W'\hat{C}M'$ . Mas

$\displaystyle M'\hat{N}P + M'\hat{N}O = 180^{\circ} = M'\hat{N}O + M'\hat{O}N + N\hat{M'}O,$

e, portanto, $M'\hat{N}P = N\hat{M'}O + M'\hat{O}N = N\hat{M'}O + M'\hat{O}P$ . Segue disto que

$\displaystyle B\hat{O}P = M'\hat{O}P = M'\hat{N}P - N\hat{M'}O = C\hat{N}R - C\hat{M'}W'.$

Agora, $S\hat{C}W' = R\hat{C}N - M'\hat{C}W'$ e, portanto,

$\displaystyle B\hat{O}P = C\hat{N}R - C\hat{M'}W' = C\hat{N}R - M'\hat{C}W' = C\hat{N}R + S\hat{C}W' - R\hat{C}N,$

e como $C\hat{N}R = R\hat{C}N$ então temos,

$\displaystyle B\hat{O}P = S\hat{C}W',$

como desejado. Isto mostra que os triângulos $BOP$ e $CSW'$ são semelhantes. Desta semelhança, segue que

$\displaystyle \frac{SC}{CW'} = \frac{OP}{OB}$ e $\displaystyle \qquad \frac{W'S}{W'C} = \frac{PB}{OB}$

e destas igualdades,

$\displaystyle SC = \frac{CW'}{OB} OP$ e $\displaystyle \qquad W'S = \frac{W'C}{OB} PB.$

Também são semelhantes os triângulos $BOP$ e $W'OQ$ e desta semelhança, temos

$\displaystyle \frac{QW'}{OW'} = \frac{PB}{OB}$ e $\displaystyle \qquad \frac{OQ}{OW'} = \frac{OP}{OB}$

e destas igualdades,

$\displaystyle QW' = \frac{OW'}{OB} PB$ e $\displaystyle \qquad OQ = \frac{OW'}{OB} OP.$

Finalmente, lembrando que

$\displaystyle {\mathrm{senh}}v = PB, \qquad \cosh v = OP,$

$\displaystyle {\mathrm{senh}}u = \frac{W'C}{OB}, \qquad \cosh u = \frac{OW'}{OB},$

$\displaystyle {\mathrm{senh}}(u+v) = RC$ e $\displaystyle \qquad \cosh(u+v) = OR,$

temos,

$\displaystyle {\mathrm{senh}}(u+v)$	$\displaystyle = RC = QW' + SC$
	$\displaystyle = \frac{CW'}{OB} OP + \frac{OW'}{OB} PB$
	$\displaystyle = {\mathrm{senh}}u \cosh v + \cosh u {\mathrm{senh}}v,$	(2.5)

e também,

$\displaystyle \cosh(u+v)$	$\displaystyle = OR = OQ + W'S$
	$\displaystyle = \frac{OW'}{OB} OP + \frac{W'C}{OB} PB$
	$\displaystyle = \cosh u \cosh v + {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}v.$	(2.6)

As fórmulas (2.5) e (2.6), juntamente com a relação fundamental (2.3) e as duas fórmulas em (2.2), constituem as 5 fórmulas básicas da trigonometria hiperbólica. Com elas podemos deduzir outras fórmulas, como por exemplo, as fórmulas de duplicação de arcos,

$\displaystyle \cosh(2u)$	$\displaystyle = \cosh(u+u)$
	$\displaystyle = \cosh^{2} u + {\mathrm{senh}}^{2} u$
$\displaystyle {\mathrm{senh}}(2u)$	$\displaystyle = {\mathrm{senh}}(u+u)$
	$\displaystyle = 2{\mathrm{senh}}u \cosh u,$

e as fórmulas de diferença de arcos,

$\displaystyle \cosh(u - v)$	$\displaystyle = \cosh u \cosh(-v) + {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}(-v)$
	$\displaystyle = \cosh u \cosh v - {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}v$
$\displaystyle {\mathrm{senh}}(u - v)$	$\displaystyle = {\mathrm{senh}}u \cosh(-v) + {\mathrm{senh}}(-v) \cosh u$
	$\displaystyle = {\mathrm{senh}}u \cosh v - {\mathrm{senh}}v \cosh u.$

Vamos agora obter duas outras fórmulas trigonométricas hiperbólicas que serão úteis mais adiante. São fórmulas fáceis de serem obtidas, similares às fórmulas obtidas na proposição 1.1. Estamos apresentando-as em virtude do uso futuro (na seção 2.8).

Proposição 2..3 São válidas as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas

Para todos $u$

e

reais,

$\displaystyle {\mathrm {tgh}}(u+v) = \frac{{\mathrm {tgh}}u + {\mathrm {tgh}}v}{1 + {\mathrm {tgh}}u {\mathrm {tgh}}v}.$

(2.7)

Para todo $u \in \mathbb{R}$ ,

$\displaystyle 1 - {\mathrm {tgh}}^{2} u = {\mathrm{sech}}^{2} u.$

(2.8)

Para todo $u \in \mathbb{R}-\{0\}$ ,

$\displaystyle {\mathrm{ctgh}}^{2} u - 1 = {\mathrm{csch}}^{2} u$

(2.9)

Prova. Para $(i)$

, temos

$\displaystyle {\mathrm {tgh}}(u+v)$	$\displaystyle = \frac{{\mathrm{senh}}(u+v)}{\cosh(u+v)} = \frac{{\mathrm{senh}}... ... {\mathrm{senh}}v \cosh u}{\cosh u \cosh v + {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}v}$
	$\displaystyle = \frac{{\mathrm{senh}}u \cosh v + {\mathrm{senh}}v \cosh u}{\cosh u \cosh v (1 + \frac{{\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}v}{\cosh u \cosh v}) }$
	$\displaystyle = \left( \frac{{\mathrm{senh}}u \cosh v + {\mathrm{senh}}v \cosh ... ...rac{1}{(1 + \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u} \frac{{\mathrm{senh}}v}{\cosh v})}$
	$\displaystyle = \left( \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u} + \frac{{\mathrm{senh}}v}{\cosh v} \right) \frac{1}{(1 + {\mathrm {tgh}}u {\mathrm {tgh}}v)}$
	$\displaystyle = \left( {\mathrm {tgh}}u + {\mathrm {tgh}}v \right) \frac{1}{(1 + {\mathrm {tgh}}u {\mathrm {tgh}}v)}$
	$\displaystyle = \frac{{\mathrm {tgh}}u + {\mathrm {tgh}}v}{1 + {\mathrm {tgh}}u {\mathrm {tgh}}v}.$

Os itens $(ii)$ e $(iii)$ ficam

$\displaystyle {\mathrm{sech}}^{2} u$	$\displaystyle = \frac{1}{\cosh^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{\cosh^{2}u - {\mathrm{senh}}^{2}u}{\cosh^{2} u}$
	$\displaystyle = 1 - \frac{{\mathrm{senh}}^{2}u}{\cosh^{2} u}$
	$\displaystyle = 1- {\mathrm {tgh}}^{2} u$

e

$\displaystyle {\mathrm{csch}}^{2} u$	$\displaystyle = \frac{1}{{\mathrm{senh}}^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{\cosh^{2}u - {\mathrm{senh}}^{2}u}{{\mathrm{senh}}^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{\cosh^{2}u}{{\mathrm{senh}}^{2} u} - 1$
	$\displaystyle = {\mathrm{ctgh}}^{2} u - 1$

e a prova está concluída. $\qedsymbol$

2.3 As funções trigonométricas hiperbólicas

Nesta seção, vamos estudar os aspectos das funções trigonométricas hiperbólicas. Primeiro vamos observar os gráficos dessas funções, determinando, com precisão, os respectivos domínios. Também, vamos observar alguns limites importantes em cada uma das funções. Para esse nosso estudo, vamos considerar as funções de uma variável real $u$ que a cada valor de $u$ associa o seno, ou o cosseno, ou a tangente, ou a cotangente, ou a secante, ou ainda a cossecante hiperbólica de $u$ . Vamos olhar uma a uma.

Para a função $w = f(u) = {\mathrm{senh}}u$ , notemos que para cada valor real de $u$ , construímos o ângulo hiperbólico $u$ determinado pelo arco $AV$ , onde a ordenada do ponto $A$ é o seno hiperbólico de $u$ . Não há nenhuma impossibilidade matemática para $u$ e, portanto, o domínio da função $f(u) = {\mathrm{senh}}u$ é todo o conjunto dos números reais. Além disso, fazendo $u$ variar no conjunto dos reais, os valores resultantes para a ordenada do ponto $A$ também percorrem o conjunto dos números reais. Desta forma, temos que a função

$\displaystyle f : \mathbb{R}$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm{senh}}u$

é sobrejetiva. Além disso, para cada $w \in \mathbb{R}$ , é único o valor de $u$

que satisfaz $w = f(u)$

, então esta função é também injetora. Logo, ${\mathrm{senh}}u$ é uma função bijetora.

Conforme $u$ aumenta (para o infinito) o tamanho do arco $AV$ também aumenta. Por conseguinte, a ordenada do ponto $A$ aumenta e o valor de $f(u)$ também aumenta indefinidamente. O mesmo ocorre para os valores negativos de $u$ . Temos então

$\displaystyle \lim_{u \to \infty} {\mathrm{senh}}u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{senh}}u = -\infty.$

O gráfico de $f(u) = {\mathrm{senh}}u$ é dado por

**Figura 2.15:** Gráfico da função seno hiperbólico.

Podemos notar ainda que é uma função contínua (mostraremos isto formalmente na próxima seção), ímpar e estritamente crescente.

Agora a função $w = f(u) = \cosh u$ . Para qualquer valor real $u$ , construímos o arco hiperbólico $AV$ associado ao ângulo hiperbólico $u$ , cujo cosseno hiperbólico é a abscissa do ponto $A$ . Notemos que não há nenhuma impossibilidade matemática para o valor de $u$ e, sendo assim, o domínio da função $f(u) = \cosh u$ é o conjunto dos números reais. Fazendo $u$ variar no conjunto dos números reais, vemos que a abscissa do ponto $A$ somente poderá assumir valores maiores do que $1$ , isto é, $\cosh u \in [1, \infty)$ . Isto significa que esta função não é sobrejetora no conjunto dos números reais, mas sim no conjunto $[1,\infty)$ . Note também que esta função não é injetora, pois para qualquer valor de $u$ temos $\cosh u = \cosh(-u)$ , isto é, é uma função par. Portanto a função

$\displaystyle f : \mathbb{R}$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = \cosh u$

não é bijetora.

Conforme o valor de $u$ aumenta (para o infinito), o tamanho do arco $AV$ aumenta e a abscissa do ponto $A$ também aumenta indefinidamente. Uma análise similar para valores negativos de $u$ levam à mesma conclusão. Temos assim,

$\displaystyle \lim_{u \to \infty} \cosh u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to -\infty} \cosh u = \infty.$

O gráfico desta função é dado por

**Figura 2.16:** Gráfico da função cosseno hiperbólico.

Para a função $w = f(u) = {\mathrm {tgh}}u$ vamos usar a identidade ${\mathrm {tgh}}u = \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u}$ . Fazendo $u$ variar no conjunto dos números reais, temos apenas que nos preocupar com o denominador, que não pode ser nulo. Como vimos anteriormente, para qualquer valor de $u$ , temos que $\cosh u$ é maior ou igual a 1, e, portanto, o denominador da fração anterior, não se anula. Com isto o domínio da função $f(u) = {\mathrm {tgh}}u$ é todo o conjunto dos números reais.

Além disso, como o ponto $A$ está entre as retas assíntotas $y=x$ e $y=-x$ , temos que a abscissa do ponto $A$ é sempre maior que a ordenada do ponto $A$ em módulo, isto é, $\cosh u > \vert{\mathrm{senh}}u\vert$ para qualquer valor de $u$ . Isto significa que a fração ${\mathrm {tgh}}u = \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u}$ resultará sempre valores menores que 1 em módulo, isto é, ${\mathrm {tgh}}u \in (-1,1)$ .

À medida que $u$ aumenta indefinidamente, os valores de ${\mathrm{senh}}u$ e $\cosh u$ tendem a se igualar, pois o ponto $A$ se aproxima da assíntota $y=x$ e isto significa que quando $u \to \infty$ os valores de ${\mathrm {tgh}}u$ se aproximam de 1. No caso em que $u \to -\infty$ então o ponto $A$ se aproxima da assíntota $y=-x$ e neste caso levamos em conta os sinais de ${\mathrm{senh}}u$ e $\cosh u$ . Em outras palavras,

$\displaystyle \lim_{u \to \infty} {\mathrm {tgh}}u = 1$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to -\infty} {\mathrm {tgh}}u = -1.$

O gráfico da função $w = f(u) = {\mathrm {tgh}}u$ é dado por

**Figura 2.17:** Gráfico da função tangente hiperbólica.

A função $f(u) = {\mathrm {tgh}}u$ é uma função monótona crescente, ímpar, limitada e bijetora de $\mathbb{R}$ em $(-1,1)$ .

O estudo da função cotangente hiperbólica, $w = f(u) = {\mathrm{ctgh}}u$ , também será feito analizando a identidade ${\mathrm{ctgh}}u = \frac{\cosh u}{{\mathrm{senh}}u}$ . Para determinar o domínio desta função, como se trata de um quociente, precisamos nos preocupar com o anulamento do denominador. O seno hiperbólico se anula somente no ponto $u = 0$ e, portanto, o domínio de $f(u) = {\mathrm{ctgh}}u$ é o conjunto $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}- \{ 0 \}$ .

Também, como visto anteriormente, o numerador é sempre maior que o denominador, em módulo. Portanto os valores resultantes deste quociente são sempre maiores que 1, em módulo, isto é, a imagem desta função é o conjunto $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ . À medida que $u$ cresce indefinidamente, os valores de ${\mathrm{senh}}u$ e $\cosh u$ se aproximam (veja explicação anterior) e, portanto,

$\displaystyle \lim_{u \to \infty} {\mathrm{ctgh}}u = 1$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{ctgh}}u = -1.$

Como o ponto $u = 0$ é um ponto crítico desta função, vamos estudar os limites no ponto 0. A medida que $u$ se aproxima de 0, os valores do denomidador ${\mathrm{senh}}u$ , se aproximam de 0 e a fração vai para o infinito. Temos então, com o respectivo estudo de sinal lateral,

$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} {\mathrm{ctgh}}u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to 0^{-}} {\mathrm{ctgh}}u = -\infty.$

O gráfico desta função é dado por

**Figura 2.18:** Gráfico da função cotangente hiperbólica.

A função $f(u) = {\mathrm{ctgh}}u$ é uma função ímpar e bijetora do conjunto $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}- \{ 0 \}$ no conjunto $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ .

Para a função $w = f(u) = {\mathrm{sech}}u = \frac{1}{\cosh u}$ , o domínio é o conjunto dos números reais, uma vez que o denominador nunca se anula, mais do que isto, o denominador é sempre maior ou igual a 1. Portanto, os valores assumidos pelo quociente $\frac{1}{\cosh u}$ , serão sempre positivos e menores ou iguais a $1$ e, desta forma, a função é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Além disso, como cosseno hiperbólico é uma função par, então a função secante também será uma função par.

À medida que $u$ cresce indefinidamente, o denominador também cresce indefinidamente e, portanto,

$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{sech}}u = \lim_{u \to \infty} {\mathrm{sech}}u = 0.$

O gráfico desta função é

**Figura 2.19:** Gráfico da função secante hiperbólica.

A cossecante hiperbólica é dada pelo quociente $w = f(u) = {\mathrm{csch}}u = \frac{1}{{\mathrm{senh}}u}$ e desta forma, seu domínio é o conjunto dos números reais tais que o denominador não se anula, isto é, $\mathbb{R}^{*}$ . A imagem por sua vez é também o conjunto $\mathbb{R}^{*}$ já que a fração $\frac{1}{{\mathrm{senh}}u}$ jamais se anula. Conforme $u$ cresce (para o infinito), o denominador também cresce (para o infinito) e, assim,

$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{csch}}u = \lim_{u \to \infty} {\mathrm{csch}}u = 0.$

Próximo do ponto crítico $u = 0$ os valores do denominador também estarão próximos de 0 e, portanto, fazendo o estudo de sinal, temos

$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} {\mathrm{csch}}u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to 0^{-}} {\mathrm{csch}}u = -\infty.$

O gráfico da função cossecante hiperbólica é

**Figura 2.20:** Gráfico da função cossecante hiperbólica.

A função cossecante hiperbólica é uma função ímpar bijetora de $\mathbb{R}^{*}$ em $\mathbb{R}^{*}$ . É decrescente em cada um dos semi-eixos positivo e negativo.

A relação completa das funções trigonométricas hiperbólicas, com os domínios e imagens é resumida na próxima tabela.

Tabela 2.1: Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas.

função	domínio	imagem
${\mathrm{senh}}u$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$\cosh u$	$\mathbb{R}$	$[1,\infty)$
${\mathrm {tgh}}u$	$\mathbb{R}$
${\mathrm{ctgh}}u$	$\mathbb{R}^{*}$	$(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$
${\mathrm{sech}}u$	$\mathbb{R}$
${\mathrm{csch}}u$	$\mathbb{R}^{*}$	$\mathbb{R}^{*}$

2.4 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas

Agora vamos mostrar que as funções trigonométricas hiperbólicas são contínuas em cada um dos pontos de definição destas funções. Mais precisamente, mostraremos que

$\displaystyle \lim_{x \to a} {\mathrm{senh}}x = {\mathrm{senh}}a$ e $\displaystyle \qquad \lim_{x \to a} \cosh x = \cosh a,$

para qualquer $a \in \mathbb{R}$ .

Proposição 2.4 O limite

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}u}{u}$

existe e é igual a 1.

Prova. Vamos estudar os limites laterais e verificar que são ambos iguais a 1. Para obter o limite quando $u \to 0^{+}$ podemos considerar que $0 < u < 1$

. Consideremos o arco hiperbólico $AV$

, relacionado com o ângulo hiperbólico $u$

e a reta $t$

paralela ao eixo $y$

que passa por $V$

. Esta reta intercepta o segmento $OA$

em um ponto que denominaremos $Q$

(Ver figura 2.21).

**Figura 2.21:** Visualização geométrica do limite

Nestes termos, sabemos que a área do setor hiperbólico $AOV$ (a área sombreada da figura (2.5)) é igual a $\frac{u}{2}$ , a área do triângulo $AOV$ é igual a $\frac{{\mathrm{senh}}u}{2}$ e a área do triângulo retângulo $OVQ$ é igual a $\frac{1}{2} {\mathrm {tgh}}u = \frac{1}{2} \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u}$ . Também a área do triângulo $OVQ$ é menor que a área do setor hiperbólico $AOV$ que por sua vez é menor que a área do triângulo $AOV$ , ou seja,

$\displaystyle \frac{{\mathrm{senh}}u}{2 \cosh u} < \frac{u}{2} < \frac{{\mathrm{senh}}u}{2}.$

Multiplicando tudo por 2 e dividindo tudo por ${\mathrm{senh}}u$ (que é positivo), temos

$\displaystyle \frac{1}{\cosh u} < \frac{u}{{\mathrm{senh}}u} < 1,$

ou ainda,

$\displaystyle \cosh u > \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} > 1.$

Da primeira desigualdade temos que ${\mathrm{senh}}u < u \cosh u$ e, usando isto, temos

$\displaystyle \cosh u$	$\displaystyle = \sqrt{1+{\mathrm{senh}}^{2} u}$
	$\displaystyle < \sqrt{1+2{\mathrm{senh}}u + {\mathrm{senh}}^{2}u}$
	$\displaystyle = 1 + {\mathrm{senh}}u < 1 + u \cosh u.$

Desta forma $\cosh u < 1 + u \cosh u$ e, reorganizando os termos, temos

$\displaystyle (1-u) \cosh u < 1,$

e como $u \in (0,1)$ então $(1-u) > 0$ , o que nos permite obter $\cosh u < \frac{1}{1-u}$ . Segue que

$\displaystyle 1 < \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} < \cosh u < \frac{1}{1-u}.$

Passando agora o limite na desigualdade, quando $u \to 0^{+}$ , temos que o limite do termo do lado esquerdo existe e é igual a 1 e o limite do lado direito também existe e é igual a 1, pois $\frac{1}{1-u}$ é uma função contínua em $u = 0$ . Temos então pelo teorema do confronto (teorema do sanduíche) que

$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} = 1.$

O caso em que $u < 0$ , é obtido observando que a função $\frac{{\mathrm{senh}}u}{u}$ é uma função par. Assim o comportamento à esquerda de 0 é o mesmo comportamento à direita de zero. Temos então

$\displaystyle \lim_{u \to 0^{-}} \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} = \lim_{u \to 0^{+}} \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} = 1,$

e, portanto,

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} = 1,$

o que encerra esta demonstração. $\qedsymbol$

Teorema 2.5 As funções seno e cosseno hiperbólico são contínuas em , isto é,

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cosh u = 1$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to 0} {\mathrm{senh}}u = 0.$

Prova. Para o primeiro limite, supondo primeiro $u>0$

(mais precisamente $0 < u < 1$

), usamos a desigualdade obtida no teorema anterior

$\displaystyle 1 < \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} < \cosh u < \frac{1}{1-u},$

e o teorema do confronto garante que $\lim\limits_{u \to 0^{+}} \cosh u = 1$ . Para $u < 0$ lembremos que cosseno hiperbólico é uma função par e então como na demonstração do teorema anterior,

$\displaystyle \lim_{u \to 0^{-}} \cosh u = \lim_{u \to 0^{+}} \cosh u = 1,$

e isso prova o primeiro limite.

Para provar o segundo limite, usaremos o item (c) do teorema 1.2. Como os limites de $\frac{{\mathrm{senh}}u}{u}$ e de $u$ existem quando $u \to 0$ então o limite do produto existe e

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \frac{u{\mathrm{senh}}u}{u} = \lim_{u \to 0} u \fr... ...m_{u \to 0} u \cdot \lim_{u \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}u}{u} = 0 \cdot 1 = 0.$

Agora, como $\frac{u {\mathrm{senh}}u}{u} = {\mathrm{senh}}u$ para todo $u \neq 0$ então do teorema 1.4 segue que

$\displaystyle \lim_{u \to 0} {\mathrm{senh}}u = \lim_{u \to 0} \frac{u {\mathrm{senh}}u}{u} = 0,$

e isso finaliza esta demonstração. $\qedsymbol$

Teorema 2.6 Para qualquer $a \in \mathbb{R}$ tem-se

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cosh(u+a) = \cosh a$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to 0} {\mathrm{senh}}(u+a) = {\mathrm{senh}}a.$

Prova. Usando a identidade trigonométrica para a soma de arcos do cosseno hiperbólico, temos que

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cosh(u+a) = \lim_{u \to 0} [\cosh u \cosh a + {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}a],$

e dos itens (a) e (b) do teorema 1.2, segue que

$\displaystyle \lim_{u \to 0} \cosh(u+a)$	$\displaystyle = \lim_{u \to 0} [\cosh u \cosh a] + \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}a]$
	$\displaystyle = (\cosh a) \lim_{u \to 0} \cosh u + ({\mathrm{senh}}a) \lim_{u \to 0} {\mathrm{senh}}u$
	$\displaystyle = (\cosh a) \cdot 1 + ({\mathrm{senh}}a) \cdot 0 = \cosh a.$

Usando agora a identidade trigonométrica para a soma de arcos do seno hiperbólico, temos

$\displaystyle \lim_{u \to 0} {\mathrm{senh}}(u+a)$	$\displaystyle = \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}u \cosh a + {\mathrm{senh}}a \cosh u]$
	$\displaystyle = \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}u \cosh a] + \lim_{u \to 0} [{\mathrm{senh}}a \cosh u]$
	$\displaystyle = (\cosh a) \lim_{u \to 0} {\mathrm{senh}}u + ({\mathrm{senh}}a) \lim_{u \to 0} \cosh u$
	$\displaystyle = (\cosh a) \cdot 0 + ({\mathrm{senh}}a) \cdot 1 = {\mathrm{senh}}a,$

e isso termina esta demonstração. $\qedsymbol$

Os limites indicados no início desta seção seguem agora imediatamente do teorema de mudança de variáveis 1.5, e dos limites que acabamos de provar.

Corolário 2.7 As funções seno e cosseno hiperbólicos são contínuas em qualquer ponto $a \in \mathbb{R}$ , isto é,

$\displaystyle \lim_{u \to a} \cosh u = \cosh a$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to a} {\mathrm{senh}}u = {\mathrm{senh}}a.$

Vamos agora analisar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas hiperbólicas, já que estas são escritas como um quociente em termos de seno e cosseno. Usando o item (d) do teorema 1.2, podemos facilmente provar as afirmações a seguir.

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são contínuas nos seus domínios de definição. Isto é,

	$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {tgh}}u = {\mathrm {tgh}}a$ , para todo $a \in \mathbb{R}$ ,
	$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{ctgh}}u = {\mathrm{ctgh}}a$ , para todo $a \in \mathbb{R}$ com $a \neq 0$ ,
	$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{sech}}u = {\mathrm{sech}}a$ , para todo $a \in \mathbb{R}$ e
	$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{csch}}u = {\mathrm{csch}}a$ , para todo $a \in \mathbb{R}$ com $a \neq 0$ .

2.5 Derivadas de funções trigonométricas hiperbólicas

Vamos agora deduzir as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas. Para isto usaremos primeiro a definição de derivada, isto é,

$\displaystyle f'(u) = \lim_{h \to 0} \frac{f(u+h) - f(u)}{h}$

para encontrar as derivadas de ${\mathrm{senh}}u$ e $\cosh u$ . Depois usaremos a regra do quociente para obter as derivadas das demais funções trigonométricas hiperbólicas. Antes precisamos determinar um limite importante.

Proposição 2.8 O limite

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cosh h - 1}{h}$

existe e é igual a 0.

Prova. Vamos modificar um pouco o quociente deste limite e usar a proposição anterior. Notemos que

$\displaystyle \frac{\cosh h - 1}{h} = \frac{\cosh h - 1}{h} \cdot \frac{\cosh h + 1}{\cosh h +1} = \frac{\cosh^{2} h - 1}{h(\cosh h + 1)}.$

Usando agora a identidade fundamental (2.3) no membro da direita, temos que

$\displaystyle \frac{\cosh h - 1}{h} = \frac{{\mathrm{senh}}^{2} h}{h(\cosh h + 1)} = \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cdot \frac{{\mathrm{senh}}h}{\cosh h + 1}.$

Olhando para o membro da direira, temos que, o limite da primeira fração quando $h \to 0$ existe e é igual a 1 (proposição 2.4) e o limite da segunda fração quando $h \to 0$ também existe por ser uma função contínua em $h$ . Desta forma o limite do produto existe quando $h \to 0$ e,

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cosh h - 1}{h}$	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cdot \frac{{\mathrm{senh}}h}{\cosh h + 1}$
	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}h}{\cosh h + 1} = 1 \cdot \left( \frac{0}{1+1} \right) = 0,$

e a prova está terminada. $\qedsymbol$

Agora temos condições de deduzir as fórmulas de derivada para as funções trigonométricas seno e cosseno hiperbólicos. Para a função seno hiperbólico temos que a derivada é dada por,

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{senh}}u = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}(u+h) - {\mathrm{senh}}u}{h}$

em todos os valores $u \in \mathbb{R}$ tais que o limite existe.

Assim,

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{senh}}u$	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}(u+h) - {\mathrm{senh}}u}{h}$
	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}u \cosh h + {\mathrm{senh}}h \cosh u - {\mathrm{senh}}u}{h}$
	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ {\mathrm{senh}}u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cosh u \right]$

para todo $u \in \mathbb{R}$ tal que o limite acima existe.

Mas os limites de ${\mathrm{senh}}u \frac{(\cosh h - 1)}{h}$ e $\frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cosh u$ existem para todo $u \in \mathbb{R}$ e assim,

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{senh}}u$	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ {\mathrm{senh}}u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \cosh u \right]$
	$\displaystyle = {\mathrm{senh}}u \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cosh h - 1}{h} \r... ...) + \cosh u \left( \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \right) = \cosh u,$

para todo $u \in \mathbb{R}$ .

Para a função cosseno hiperbólico, temos que

$\displaystyle \frac{d}{du} \cosh u = \lim_{h \to 0} \frac{\cosh(u+h) - \cosh u}{h}$

para todo $u \in \mathbb{R}$ tal que o limite exista. Para tais $u$ , temos

$\displaystyle \frac{d}{du} \cosh u$	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cosh(u+h) - \cosh u}{h}$
	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\cosh u \cosh h + {\mathrm{senh}}h {\mathrm{senh}}u - \cosh u}{h}$
	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ \cosh u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} {\mathrm{senh}}u \right].$

Como os limites de cada uma das frações $\cosh u \frac{(\cosh h - 1)}{h}$ e $\frac{{\mathrm{senh}}h}{h} {\mathrm{senh}}u$ existem para todo $u \in \mathbb{R}$ então

$\displaystyle \frac{d}{du} \cosh u$	$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ \cosh u \frac{(\cosh h - 1)}{h} + \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} {\mathrm{senh}}u \right]$
	$\displaystyle = \cosh u \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cosh h - 1}{h} \right)+ {\... ...}u \left( \lim_{h \to 0} \frac{{\mathrm{senh}}h}{h} \right) = {\mathrm{senh}}u,$

para todo $u \in \mathbb{R}$ .

Para as demais funções trigonométricas hiperbólicas usaremos as identidades em termos de seno e cosseno hiperbólico e a regra de derivação do quociente. Já que as funções seno e cosseno hiperólico são diferenciáveis em todo $u \in \mathbb{R}$ então os quocientes de definição das demais funções trigonométricas hiperbólicas são diferenciáveis em todos os pontos onde o denominador não se anula.

A função $f(u) = {\mathrm {tgh}}u$ é diferenciável em todo $u \in \mathbb{R}$ e

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {tgh}}u = \frac{d}{du} \left( \tfrac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u} \right)$	$\displaystyle = \frac{({\mathrm{senh}}u)' \cosh u - {\mathrm{senh}}u (\cosh u)'}{\cosh^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{\cosh u \cosh u - {\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}u}{\cosh^{2} u} = \frac{1}{\cosh^{2} u} = {\mathrm{sech}}^{2} u.$

Para a função cotangente, temos em todo $u \in \mathbb{R}^{*}$ ,

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{ctgh}}u = \frac{d}{du} \left( \tfrac{\cosh u}{{\mathrm{senh}}u} \right)$	$\displaystyle = \frac{(\cosh u)' {\mathrm{senh}}u - \cosh u ({\mathrm{senh}}u)'}{{\mathrm{senh}}^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{{\mathrm{senh}}u {\mathrm{senh}}u - \cosh u \cosh u}{{\mathrm{senh}}^{2} u} = \frac{-1}{{\mathrm{senh}}^{2} u} = -{\mathrm{csch}}^{2} u.$

E, finalmente, para todo $u \in \mathbb{R}$ ,

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{sech}}u = \frac{d}{du} \left( \tfrac{1}{\cosh u} \right)$	$\displaystyle = \frac{(1)' \cosh u - {\mathrm{senh}}u}{\cosh^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{-{\mathrm{senh}}u}{\cosh^{2} u} = - \frac{1}{\cosh u} \frac{{\mathrm{senh}}u}{\cosh u} = -{\mathrm{sech}}u {\mathrm {tgh}}u,$

e também, para todo $u \in \mathbb{R}^{*}$ ,

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{csch}}u = \frac{d}{du} \left( \tfrac{1}{{\mathrm{senh}}u} \right)$	$\displaystyle = \frac{(1)'{\mathrm{senh}}u - \cosh u}{{\mathrm{senh}}^{2} u}$
	$\displaystyle = \frac{-\cosh u}{{\mathrm{senh}}^{2} u} = - \frac{1}{{\mathrm{senh}}u} \frac{\cosh u}{{\mathrm{senh}}u} = -{\mathrm{csch}}u {\mathrm{ctgh}}u.$

A tabela abaixo, reúne as fórmulas de derivação para as funções trigonométricas hiperbólicas. O conjunto domínio descrito na tabela é o domínio da derivada. Note a semelhança com o caso circular.

Tabela 2.2: Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas.

função	domínio	derivada
${\mathrm{senh}}u$	$\mathbb{R}$	$\cosh u$
$\cosh u$	$\mathbb{R}$	${\mathrm{senh}}u$
${\mathrm {tgh}}u$	$\mathbb{R}$	${\mathrm{sech}}^{2} u$
${\mathrm{ctgh}}u$	$\mathbb{R}^{*}$	$-{\mathrm{csch}}^{2} u$
${\mathrm{sech}}u$	$\mathbb{R}$	$-{\mathrm{sech}}u {\mathrm {tgh}}u$
${\mathrm{csch}}u$	$\mathbb{R}^{*}$	$-{\mathrm{csch}}u {\mathrm{ctgh}}u$

2.6 Funções trigonométricas hiperbólicas inversas

Nesta seção, vamos definir as funções trigonométricas inversas, estabelecendo os domínios, as imagens e indicando alguns limites importantes. Também apresentaremos os gráficos destas funções. Este não é um trabalho muito fácil pois, como acabamos de ver, as funções trigonométricas hiperbólicas não são todas elas bijetoras. Já passamos por este problema na seção 1.5 com as funções trigonométricas circulares. Vamos impor, quando necessário, condições de restrição de domínio e de imagem para tornar as funções bijetivas.

Comecemos com a função seno hiperbólico, que como vimos anteriormente, é uma função bijetora de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ . Desta forma, podemos obter a função inversa do seno hiperbólico, para qualquer valor real. Dado $u \in \mathbb{R}$ , o seno hiperbólico inverso de $u$ , é o número $w$ , representado por $w = {\mathrm{senh}}^{-1} u$ , que satisfaz $u = {\mathrm{senh}}w$ . É usual representar também a função seno hiperbólico inverso por $w = \operatorname{arcsinh} u$ e lemos “arco seno hiperbólico”. Vamos usar neste texto a primeira notação e lembre-se de não confundir ${\mathrm{senh}}^{-1} u$ com $({\mathrm{senh}} u)^{-1}$ . A segunda expressão é o inverso multiplicativo do seno hiperbólico, ou seja a cossecante hiperbólica.

Fazendo $u$ variar em $\mathbb{R}$ , temos a função seno hiperbólico inverso,

$\displaystyle f : \mathbb{R}$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm{senh}}^{-1} u,$

que satisfaz a relação $u = {\mathrm{senh}}w$ . Se fizermos $u$ tender para o infinito, a relação $u = {\mathrm{senh}}w$ nos diz que $w$ também deve ir para o infinito e analogamente para $u \to -\infty$ . Temos assim,

$\displaystyle \lim_{u \to \infty} {\mathrm{senh}}^{-1} u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{senh}}^{-1} u = -\infty.$

Valem as seguintes relações inversas,

	$\displaystyle {\mathrm{senh}}({\mathrm{senh}}^{-1} u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in \mathbb{R},$
	$\displaystyle {\mathrm{senh}}^{-1}({\mathrm{senh}}u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}.$

O gráfico da função seno hiperbólico inverso, é da forma,

**Figura 2.22:** Gráfico de seno hiperbólico inverso.

A função cosseno hiperbólico não é uma função bijetora. Lembremos que seu domínio é $\mathbb{R}$ , mas sua imagem é o subconjunto $[1,\infty) \subset \mathbb{R}$ . Restringindo o contradomínio a $[1,\infty)$ tornamos esta função sobrejetora. Também a função cosseno hiperbólico, definida em todo o domínio $\mathbb{R}$ , não é injetora. Vamos então restringir o domínio desta função ao conjunto dos reais não negativos. Temos assim que a função cosseno hiperbólico é bijetora de $[0,\infty)$ em $[1,\infty)$ . Por restrição, podemos então definir a função cosseno hiperbólico inverso, denotada por

$\displaystyle f : [1,\infty)$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle [0,\infty)$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = \cosh^{-1} u,$

e que satisfaz a relação $u = \cosh w$ . Levando $u$ ao infinito, a relação $u = \cosh w$ nos mostra que $w$ também vai para o infinito. No outro extremo do intervalo de definição, isto é, quando $u$ tende para 1 (somente pela direita), a mesma relação mostra que $w$ vai para 0. Então,

$\displaystyle \lim_{u \to \infty} \cosh^{-1} u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to 1^{+}} \cosh^{-1} u = 0.$

O gráfico desta função é a curva da figura abaixo.

**Figura 2.23:** Gráfico da função cosseno hiperbólico inverso.

Ocorrem as seguintes relações inversas,

	$\displaystyle \cosh(\cosh^{-1} u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in [1,\infty),$
	$\displaystyle \cosh^{-1}(\cosh u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in [0,\infty).$

A função tangente hiperbólica é uma função injetora do conjunto $\mathbb{R}$ no conjunto $\mathbb{R}$ , mas não é sobrejetora já que o conjunto imagem é o intervalo $(-1,1)$ . Restringindo o contradomínio temos a bijetividade da função tangente hiperbólica de $\mathbb{R}$ em . Definimos então a função tangente hiperbólica inversa,

$\displaystyle f : (-1,1)$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm {tgh}}^{-1} u,$

com $u$ e $w$ satisfazendo $u = {\mathrm {tgh}}w$ . Vamos observar o seu comportamento nos extremos do intervalo. Quando $u$ tende a 1 (pela esquerda) então a relação $u = {\mathrm {tgh}}w$ mostra que $w$ deve ir para o infinito. Analogamente se $u \to -1$ então $w$ vai para $-\infty$ . Resumindo,

$\displaystyle \lim_{u \to 1^{-}} {\mathrm {tgh}}^{-1} u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to -1^{+}} {\mathrm {tgh}}^{-1} u = -\infty.$

O gráfico da função tangente hiperbólica inversa,

**Figura 2.24:** Gráfico da função tangente hiperbólica inversa.

As relações inversas são

	$\displaystyle {\mathrm {tgh}}({\mathrm {tgh}}^{-1} u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in (-1,1),$
	$\displaystyle {\mathrm {tgh}}^{-1}({\mathrm {tgh}}u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}.$

A função cotangente hiperbólica também é uma função bijetora do conjunto $\mathbb{R}^{*}$ no conjunto $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ . Desta forma, definimos a função cotangente hiperbólica inversa por,

$\displaystyle f : (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}-\{0\}$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm{ctgh}}^{-1} u,$

desde que $u = {\mathrm{ctgh}}w$ . Analisando os extremos do intervalo de definição, temos que quando $u \to -\infty$ a relação $u = {\mathrm{ctgh}}w$ nos diz que isto ocorre quando $w$ vai para 0 (com valores negativos). Analogamente, quando $u \to \infty$ então deve ocorrer $w \to 0$ (com valores positivos). Fazendo $u \to -1^{-}$ então, a mesma relação anterior, nos diz que $w$ deve ir para $-\infty$ e analogamente $w \to \infty$ quando $u \to 1^{+}$ . Resumindo,

$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{ctgh}}^{-1} u = \lim_{u \to \infty} {\mathrm{ctgh}}^{-1} u = 0,$
$\displaystyle \lim_{u \to -1^{-}} {\mathrm{ctgh}}^{-1} u = -\infty,$
$\displaystyle \lim_{u \to 1^{+}} {\mathrm{ctgh}}^{-1} u = \infty.$

O gráfico desta função é dado por

**Figura 2.25:** Gráfico da função cotangente hiperbólica inversa.

Valem as seguintes relações de inversão,

	$\displaystyle {\mathrm{ctgh}}({\mathrm{ctgh}}^{-1} u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty),$
	$\displaystyle {\mathrm{ctgh}}^{-1}({\mathrm{ctgh}}u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}-\{0\}.$

Para a secante hiperbólica, temos alguns problemas como no caso do cosseno hiperbólico inverso. O domínio da função secante hiperbólica é o conjunto $\mathbb{R}$ e a imagem é o conjunto $(0,1]$ . Mas esta função não é injetora de $\mathbb{R}$ em $(0,1]$ . Então vamos restringir o conjunto domínio para os reais não negativos. Assim, a função secante hiperbólica é bijetiva de $[0,\infty)$ em $(0,1]$ e podemos definir a função secante hiperbólica inversa

$\displaystyle f: (0,1]$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle [0,\infty)$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm{sech}}^{-1} u,$

satisfazendo $u = {\mathrm{sech}}w$ . Quando $u \to 0$ (pela direita), a relação $u = {\mathrm{sech}}w = \frac{1}{\cosh w}$ diz que $\cosh w$ deve estar indo para o infinito por valores positivos e consequentemente $w$ deve estar indo para o infinito. Quando $u$ vai para 1 (pela esquerda) então $\cosh w$ está indo para 1 e $w$ deve estar se aproximando de 0. Temos então

$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} {\mathrm{sech}}^{-1} u = \infty$ e $\displaystyle \qquad \lim_{u \to 1^{-}} {\mathrm{sech}}^{-1} u = 0.$

As relações inversas ficam,

	$\displaystyle {\mathrm{sech}}({\mathrm{sech}}^{-1} u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in (0,1],$
	$\displaystyle {\mathrm{sech}}^{-1}({\mathrm{sech}}u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in [0,\infty).$

Graficamente, temos

**Figura 2.26:** Gráfico de secante hiperbólica inversa.

Finalmente, lembremos que a função cossecante hiperbólica é bijetora do conjunto $\mathbb{R}^{*}$ no conjunto $\mathbb{R}^{*}$ . Definimos então a função cossecante hiperbólica inversa

$\displaystyle f: \mathbb{R}-\{0\}$	$\displaystyle \to$	$\displaystyle \mathbb{R}-\{0\}$
$\displaystyle u$	$\displaystyle \mapsto$	$\displaystyle w = f(u) = {\mathrm{csch}}^{-1} u,$

que também satisfaz $u = {\mathrm{csch}}w = \frac{1}{{\mathrm{senh}}w}$ . Esta relação explica também os limites. Quando $u \to -\infty$ então ${\mathrm{senh}}w$ deve ir para 0 por valores negativos e então $w$ deve ir para 0 também por valores negativos. Analogamente, quando $u \to \infty$ , ${\mathrm{senh}}w$ deve ir para 0 por valores positivos e então $w$ deve ir também para 0 por valores positivos. Se $u \to 0$ por valores positivos então ${\mathrm{senh}}w$ deve ir para o infinito e $w \to \infty$ também. Da mesma forma, se $u \to 0$ por valores negativos, então ${\mathrm{senh}}w$ vai para $-\infty$ e consequentemente, $w \to -\infty$ também. Resumindo,

$\displaystyle \lim_{u \to -\infty} {\mathrm{csch}}^{-1} u = \lim_{u \to \infty} {\mathrm{csch}}^{-1} u = 0,$
$\displaystyle \lim_{u \to 0^{-}} {\mathrm{csch}}^{-1} u = -\infty,$
$\displaystyle \lim_{u \to 0^{+}} {\mathrm{csch}}^{-1} u = \infty.$

O gráfico desta função é representado por

**Figura 2.27:** Gráfico da função cossecante hiperbólica inversa.

São válidas as relações de inversão,

	$\displaystyle {\mathrm{csch}}({\mathrm{csch}}^{-1} u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}^{*},$
	$\displaystyle {\mathrm{csch}}^{-1}({\mathrm{csch}}u) = u$ para todo $\displaystyle \quad u \in \mathbb{R}^{*}.$

A relação completa de funções trigonométricas hiperbólicas inversas com seus respectivos domínios de definição e conjunto imagem é dada na próxima tabela.

Tabela 2.3: Domínio e imagem das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.

função	domínio	imagem
${\mathrm{senh}}^{-1} u$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$\cosh^{-1} u$	$[1,\infty)$	$[0,\infty)$
${\mathrm {tgh}}^{-1} u$		$\mathbb{R}$
${\mathrm{ctgh}}^{-1} u$	$(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$	$\mathbb{R}^{*}$
${\mathrm{sech}}^{-1} u$		$[0,\infty)$
${\mathrm{csch}}^{-1} u$	$\mathbb{R}^{*}$	$\mathbb{R}^{*}$

2.7 Continuidade das funções trigonométricas hiperbólicas inversas

O procedimento adotado aqui não tem diferenças do procedimento adotado para as funções trigonométricas circulares. O teorema 1.11 se aplica às funções trigonométricas hiperbólicas em seus respectivos domínios de definição. Vamos omitir os detalhes. Entretanto entendemos deste ponto em diante que cada função trigonométrica inversa é contínua nos seus respectivos domínios de definição respeitando a lateralidade nos extremos fechados destes domínios.

Temos assim, que

$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{senh}}^{-1} u = {\mathrm{senh}}^{-1} a$	para todo	$a \in \mathbb{R}$ ,
$\lim\limits_{u \to a} \cosh^{-1} u = \cosh^{-1} a$	para todo	$a \in [1,\infty)$ ,
$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm {tgh}}^{-1} u = {\mathrm {tgh}}^{-1} a$	para todo	$a \in (-1,1)$ ,
$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{ctgh}}^{-1} u = {\mathrm{ctgh}}^{-1} a$	para todo	$a \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ ,
$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{sech}}^{-1} u = {\mathrm{sech}}^{-1} a$	para todo	$a \in (0,1]$ ,
$\lim\limits_{u \to a} {\mathrm{csch}}^{-1} u = {\mathrm{csch}}^{-1} u$	para todo	$a \in \mathbb{R}^{*}$ .

2.8 Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas inversas

Nesta seção, vamos determinar as fórmulas de derivada para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas. Usaremos principalmente a técnica da diferenciação implícita e levamos em conta o conhecimento das fórmulas de diferenciação para as seis funções trigonométricas hiperbólicas obtidas na seção 2.5.

Considerando a função $w = f(u) = {\mathrm{senh}}^{-1} u$ , para todo $u \in \mathbb{R}$ , queremos agora derivar em relação a $u$ e obter $w' = \frac{dw}{du}$ . Sabemos que neste caso é válida a relação $u = {\mathrm{senh}}w$ . Lembre-se que $w$ é variável dependente de $u$ e, por isto, quando derivarmos $w$ devemos usar diferenciação implícita. Nestes termos, derivando em relação a $u$ os dois membros de $u = {\mathrm{senh}}w$ , temos

$\displaystyle 1 = \frac{d}{du} {\mathrm{senh}}w = \cosh w \cdot \frac{dw}{du}.$

Como queremos determinar $w' = \frac{dw}{du}$ basta agora isolar este termo. Obtemos

$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{1}{\cosh w}.$

Mas claro que desejamos obter esta derivada como função de $u$ novamente. Precisamos então substituir a variável dependente $w$ do segundo membro pela variável independente $u$ . A única expressão que faz esta substituição é a própria relação $u = {\mathrm{senh}}w$ . Assim, vamos substituir o termo $\cosh w$ por alguma expressão que contenha ${\mathrm{senh}}w$ . Usando a relação fundamental (2.3), temos

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{senh}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{\c... ...w} = \frac{1}{\sqrt{ 1 + {\mathrm{senh}}^{2} w}} = \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}},$

para todo $u \in \mathbb{R}$ .

Tomamos agora a função $w = f(u) = \cosh^{-1} u$ , definida para todo $u \in [1,\infty)$ . Derivando implicitamente a igualdade $u = \cosh w$ com relação a $u$ , para todo $u > 1$ , obtemos

$\displaystyle 1 = ({\mathrm{senh}}w) \cdot \frac{dw}{du}.$

Isolando agora o termo $\frac{dw}{du}$ , como feito para o caso do seno hiperbólico e usando a relação fundamental (2.3), obtemos

$\displaystyle \frac{d}{du} \cosh^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{{\mathrm{senh}}w} = \frac{1}{\sqrt{ \cosh^{2} w - 1}} = \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}$

para todo $u > 1$ . Note que esta derivada não está definida para $u=1$ .

Para a função $w = f(u) = {\mathrm {tgh}}^{-1} u$ , definida no intervalo $(-1,1)$ , derivamos a igualdade $u = {\mathrm {tgh}}w$ com relação a $u$ , obtendo

$\displaystyle 1 = ({\mathrm{sech}}^{2} w) \cdot \frac{dw}{du}.$

Reorganizando os termos e usando a igualdade (2.8), da proposição 2.3, vem

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm {tgh}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{1}{{\mathrm{sech}}^{2} w} = \frac{1}{1-{\mathrm {tgh}}^{2}w} = \frac{1}{1 - u^{2}},$

para todo $u \in (-1,1)$ .

Considerando $w = f(u) = {\mathrm{ctgh}}^{-1} u$ , definida para todo $u \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ , vamos derivar a igualdade $u = {\mathrm{ctgh}}w$ com respeito a $u$ . Obtemos

$\displaystyle 1 = (-{\mathrm{csch}}^{2} w) \cdot \frac{dw}{du}.$

Isolando o termo $w' = \frac{dw}{du}$ e usando a identidade (2.9) da proposição 2.3, temos

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{ctgh}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{-1}{{... ...frac{-1}{{\mathrm{ctgh}}^{2}w - 1} = \frac{-1}{u^{2}-1} = \frac{1}{1 - u^{2}},$

para $u \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ .

Tomando agora a função $w = f(u) = {\mathrm{sech}}^{-1} u$ , que está definida para todo $u \in (0,1]$ , temos $u = {\mathrm{sech}}w$ , com $w \in [0,\infty)$ . Derivando em relação a $u$ , obtemos

$\displaystyle 1 = -({\mathrm{sech}}w {\mathrm {tgh}}w) \cdot \frac{dw}{du},$

para todo $u \in (0,1)$ . Então,

$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{-1}{{\mathrm{sech}}w {\mathrm {tgh}}w}.$

Usaremos a identidade (2.8) da proposição 2.3, válida para $w \in [0,\infty)$ . Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros de (2.8), temos que

$\displaystyle \vert{\mathrm {tgh}}w\vert = \sqrt{1-{\mathrm{sech}}^{2} w}.$

Como $w \in (0,\infty)$ o termo ${\mathrm {tgh}}w$ do lado esquerdo é sempre positivo. Descartamos então o módulo, obtendo

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{sech}}^{-1}u = \frac{dw}{du} = \frac{-1}{{\... ...hrm{sech}}w \sqrt{1 - {\mathrm{sech}}^{2} w}} = \frac{-1}{u \sqrt{1 - u^{2}}}.$

Finalmente para a função $w = f(u) = {\mathrm{csch}}^{-1} u$ , definida para todo $u \in \mathbb{R}-\{0\}$ , escrevemos $u = {\mathrm{csch}}w$ , com $w \in \mathbb{R}-\{0\}$ e derivando implicitamente em relação a $u$ , obtemos

$\displaystyle 1 = - ({\mathrm{csch}}w {\mathrm{ctgh}}w) \cdot \frac{dw}{du},$

que nos fornece

$\displaystyle \frac{dw}{du} = \frac{-1}{{\mathrm{csch}}w {\mathrm{ctgh}}w}.$

Vamos usar a igualdade (2.9), da proposição 2.3, válida para $w \in \mathbb{R}^{*}$ . Extraímos a raiz quadrada em ambos os membros de (2.9) para obter

$\displaystyle \vert{\mathrm{ctgh}}w\vert = \sqrt{1 + {\mathrm{csch}}^{2} w}.$

Observe que ${\mathrm{ctgh}}w$ não é sempre positiva para $w \in \mathbb{R}-\{0\}$ e isto nos impede de descartar o módulo. Mas ${\mathrm{csch}} w {\mathrm{ctgh}}w$ é sempre positivo. Então temos

$\displaystyle {\mathrm{csch}}w {\mathrm{ctgh}}w$	$\displaystyle = \vert{\mathrm{csch}}w {\mathrm{ctgh}}w\vert$
	$\displaystyle = \vert{\mathrm{csch}}w\vert \vert{\mathrm{ctgh}}w\vert$
	$\displaystyle = \vert{\mathrm{csch}}w\vert\sqrt{1 + {\mathrm{csch}}^{2} w} = \vert u\vert \sqrt{1+u^{2}},$

donde segue que

$\displaystyle \frac{d}{du} {\mathrm{csch}}^{-1} u = \frac{dw}{du} = \frac{-1}{{\mathrm{csch}}w {\mathrm{ctgh}}w} = \frac{-1}{\vert u\vert \sqrt{1+u^{2}}},$

para todo $u \in \mathbb{R}^{*}$ .

Vamos resumir as fórmulas desta seção na próxima tabela.

Tabela 2.4: Derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas inversas.

função	domínio	derivada
${\mathrm{senh}}^{-1} u$	$\mathbb{R}$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$
$\cosh^{-1} u$	$[1,\infty)$	$\frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}$
${\mathrm {tgh}}^{-1} u$		$\frac{1}{1 - u^{2}}$
${\mathrm{ctgh}}^{-1} u$	$(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$	$\frac{1}{1 - u^{2}}$
${\mathrm{sech}}^{-1} u$		$\frac{-1}{u \sqrt{1 - u^{2}}}$
${\mathrm{csch}}^{-1} u$	$\mathbb{R}^{*}$	$\frac{-1}{\vert u\vert \sqrt{1+u^{2}}}$

Note que as derivadas das funções ${\mathrm {tgh}}^{-1} u$ e ${\mathrm{ctgh}}^{-1} u$ são iguais, porém estão definidas em conjuntos disjuntos, isto é, conjuntos que não possuem pontos em comum.